1 CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE AUGUST 2026 LUCRARE DE GRADUL I 2014 Prof. RIȘCĂ FLORIN ADRIAN 2 ARGUMENT Numerele naturale, deși cele mai simple numere pe care le folosim, au fost studiate de-a lungul istoriei și sunt în continuare studiate. Se descoperă permanent câte un lucru nou referitor la numerele naturale, ceea ce înseamnă că acest domeniu este practic inepuizabil. Această temă este eficientă, ea fiind necesară în completarea noțiunilor elevilor, dar este utilă chiar și profesorilor, mai ales celor din învățământul gimnazial și constituie baza pentru tendința actuală de a se insista pe calculul algebric. De altfel, numerele naturale se învață practice de la cele mai fragede vârste, copilul învățând să numere din primii ani de viață. Evident că el nu știe noțiunea de număr natural, dar el folosește simbolurile numerelor. Mai târziu află ce este aceea mulțimea numerelor naturale notată cu simbolul ������, mulțime despre care află că este infinită și este reprezentată astfel: ������ = {0,1,2,3, … }. Apoi află că numerele naturale se folosesc în operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și putere și că fiecare dintre acestea este guvernată de reguli clare care trebuie respectate întocmai. În clasa a V-a află de existența numerelor prime, de divizibilitate și de criteriile cele mai simple de divizibilitate, cu 2, 5 și 10. Tot acum află că numerele naturale se pot reprezenta pe axa numerelor. Mai târziu, în clasa a VI-a află că există și alte criterii de divizibilitate, cu 3, cu 4, cu 9, cu 25. Elevii mai pasionați de matematică află că există și alte criterii de divizibilitate și că, de fapt, se pot crea multe alte criterii de divizibilitate combinându-le pe cele cunoscute. Practic, putem considera că, în fiecare an, se mai adaugă câte ceva în bagajul de cunoștințe ale unui elev despre numerele naturale. Lucrarea este structurată pe 5 capitole. La început se face o introducere în ceea ce înseamnă meseria de profesor de matematică, cu tot ce înseamnă aceasta, cu ce se confruntă în activitatea sa, cu multele obstacole pe care le întâmpină în motivarea elevilor și în promovarea respectului celorlalți pentru munca deosebită pe care trebuie să o depună un profesor de matematică. 3 În primul capitol sunt prezentate câteva chestiuni preliminare de aritmetică, cu definirea noțiunii de număr natural, operații cu numere naturale, teorema împărțirii cu rest și o demonstrație a ei. De asemenea, tot în cadrul acestui capitol sunt prezentate câteva teoreme importante pentru aritmetică, cum ar fi Teorema fundamentală a aritmeticii, Teorema lui Euler, Teorema lui Fermat, Teorema lui Wilson. Se introduce noțiunea de număr prim și se exemplifică modul cum se poate face trecerea unui număr natural dntr-o bază de numerație într-o altă bază de numerație. În capitolul al doilea se insistă pe mulțimea numerele prime, teoreme referitoare la infinitatea numerelor prime, câteva criterii mai deosebite de divizibilitate, Ciurul lui Eratostene de determinare a numerelor prime și teoremele Bertrand-Cebîșev și Scherk. În capitolul al treilea sunt definite numerele de tip Fermat, numerele de tip Mersenne, numerele de tip Fibonacci, numerele perfecte, numerele pseudoprime, numerele absolut pseudoprime, numerele Carmichael, numerele triunghiulare, numere prime gemene și numerele pitagoreice. Pentru fiecare dintre ele sunt prezentate considerații practice și teoreme importante referitoare la acestea. Capitolul al patrulea conține aplicații referitoare la divizibilitatea în mulțimea numerelor naturale, la mulțimea numerelor prime și la fiecare dintre clasele speciale de numere naturale. În capitolul următor se prezintă chestiuni metodice despre predarea algebrei în gimnaziu, despre didactica matematică, despre ce înseamnă meseria de profesor și despre cum se predă în școală noțiunea de număr natural. În contextual actual când ne aflăm în era calculatoarelor, se înregistrează multe progrese în studiul matematicii folosind computerele cu memorie și cu o viteză de calcul foarte mare. De altfel, de exemplu, legat de numerele prime, s-a ajuns să se afle cel mai mare număr prim, de peste 10 milioane de cifre și lucrurile nu s-au oprit aici, existând în continuare cercetări pentru a afla numere prime și mai mari. Matematica are o contribuție însemnată în societate, studiul acestei discipline realizează obiective operaționale și neoperaționale cu precădere, determinând dezvoltarea gândirii și progresului omenirii. 4 5 INTRODUCERE Alegerea viitoarei meserii (în principiu, a facultății ce trebuie urmată) trebuie să fie considerată o decizie esențială în evoluția vieții fiecărei persoane. Dacă opțiunea este făcută având la bază doar motivația materială (un venit consistent şi rapid), structura socială și economică a societății la acel moment sau dorințele unor părinți prea autoritari, de multe ori se ajunge la insatisfacție sau eşec profesional. Nu spunem că aceste aspecte nu trebuie luate în seamă, dar ele nu trebuie să fie dominante în hotărârea fiecăruia (oricum, la ritmul de schimbare a configurației socio-profesionale actuale, ele pot fi înşelătoare). E bine să alegem o specialitate care poate oferi posibilitatea de a lucra în mai multe domenii, care este indispensabilă dezvoltării anumitor ramuri economice, ştiințifice, etc. Opțiunea trebuie să se bazeze în primul rând pe o analizare critică a aptitudinilor, posibilităților, dorințelor personale, deoarece profesiunea aleasă trebuie să fie practicată din plăcere. Alături de medic şi preot, profesorul joacă un rol important în viața fiecăruia. Dacă primii doi au grijă de sufletul şi trupul nostru şi ne învață cum să le îngrijim, dascălul ne îndrumă în a acumula experiențe, cunoştințe, modelează gândirea, dezvoltă personalitatea, oferă exemple de viață şi criterii de valoare morală. Din acest motiv, profesiunea de dascăl este una vocațională. Marele matematician Grigore Moisil spunea că profesorul este cel care într-o anumită disciplină, ştie în fiecare zi mai mult decât ieri, învățându-l pe altul ce ştie el azi, îl pregăteşte pentru ce va afla mâine şi care poate să fundeze ceea ce ştie într-o anumită disciplină, pe ceea ce ştie din celelalte discipline pe care aceasta se reazemă. În cadrul pregătirii profesionale a unui profesor se îmbină două laturi: cea ştiințifică şi cea pedagogică. Este evident că un dascăl bun trebuie să fie o persoană cu o pregătire ştiințifică bogată, bine fundamentată, net superioară nivelului la care se predă. Chiar dacă un profesor predă doar la gimnaziu, el trebuie să cunoască ceea ce se predă la orele de matematică în liceu pentru a pregăti corespunzător elevii făcând legătura dintre noțiunile predate de el şi cele viitoare, asigurând continuitatea învățării. Considerăm că cea mai mare răspundere în formarea abilităților şi gândirii matematice a elevilor o are profesorul de matematică din gimnaziu. El este primul profesor de specialitate care trebuie să-I facă pe copii să îndrăgească matematica şi să-i inițieze cu răbdare în tainele acesteia. Pentru aceasta, el are menirea dificilă de a transpune noțiuni, greu de aprofundat 6 în această etapă, într-un limbaj accesibil vârstei, fără a renunța la rigoarea matematică. Profesorul care predă doar la liceu trebuie să cunoască exact noțiunile predate în perioada gimnazială, acestea fiind fundamental pe care va clădi şi va dezvolta în continuare. De asemenea, este necesar ca el să fie familiarizat cu metodele specifice de abordare a matematicii în gimnaziu pentru a realize o punte de legătură cu noile metode din liceu. Ținând cont de faptul că noțiunile din liceu devin din ce în ce mai abstracte (analiza matematică, în special), profesorul trebuie să creeze motivații puternice, să pună accentual pe caracterul interdisciplinar al matematicii, să încurajeze căutarea şi cercetarea elevilor. Dacă profesorul pune accentul pe latura problematică a matematicii, adică explică probleme care conduc la introducerea unor noțiuni noi sub forma precizată (de ce a apărut?, la ce foloseşte?, de ce aşa?), se vor dezvolta motivațiile care stau la baza acestora. Cărțile de cultură matematică generală joacă aici un rol important. Spre deosebire de manualele, revistele, culegerile de matematică care au o formă conservatoare şi rigidă, acestea prezintă rezultate matematice sub o formă mai plăcută, stabilesc mai uşor motivații şi conexiuni cu alte domenii. Dintre aceste cărți, este bine să nu lipsească din bibliografia de studiu următoarele: Licuricii din adâncuri, Aventura geometriilor neeuclidiene, Istoria numărului pi (Florica T. Câmpan), Vraja geometriei demodate (Viorel Vodă), etc. Un prim pas în dezvoltarea creativității, inteligenței elevilor constă în încurajarea acestora în a întreba (chiar dacă uneori răspunsurile sunt elementare) fără a-i admonesta că sunt obraznici sau a-i face să se simtă stânjeniți. Matematicianul Solomon Marcus subliniază acest fapt precizând că „discursul matematic are totdeauna caracter deschis, generator de întrebări. A învăța să te nedumereşti este lucrul cel mai important. Restul vine aproape ca un corolar.” Atitudinea elevului relative la învățarea matematicii trebuie să fie activă. El trebuie învățat să gândească singur, să abordeze şi să caute soluții personale la anumite probleme sau demonstrații de teoreme pe care apoi să le confrunte cu altele. Acesta este şi începutul activității sale de cercetare (care are loc la orice nivel, chiar şi în gimnaziu). Oferirea unor „rețete” sau soluții „de-a gata” nu dezvoltă imaginația, căutarea, judecata elevilor. De exemplu, în cazul construcțiilor ajutătoare în problemele de geometrie, dacă nu „se vede” modul de demonstrație, printr-un lanț de întrebări, adecvat alese, elevul poate găsi singur, la un anumit pas, rezolvarea şi, pentru a o reține, va avea o motivație mult mai profundă decât cea clasică „pentru că aşa se face”. În cadrul concursurilor şcolare, găsim de multe ori abordări originale care nu urmează şablonul clasic, rezolvări inedite, 7 care arată că elevii sunt capabili de activități creatoare începând chiar din cele mai mici clase. Gândirea matematică presupune capacitatea de a raționa în etape riguros alcătuite, fiecare legată de cele anterioare dar şi capacitatea de concentrare a atenției pe durată mare. În acest sens, exercițiile de calcul suficient de lungi, atât de desconsiderate de mulți, le dovedesc elevilor cât sunt de pregătiți în canalizarea atenției şi concentrarea asupra lucrului curent. Concursul „Cangurul” cere şi el atenție şi concentrare maximă; printre altele, participanții află cât de importantă este citirea cu atenție a enunțului unei probleme. Elevii trebuie să fie conştienți de faptul că greşelile de calcul conduc la penalizări, chiar dacă raționamentul este corect; ei au datoria ca, prin exercițiu personal, să-şi dezvolte capacitatea de concentrare. Problemele de tipul „unde este greşeala?” contribuie atât la formarea spiritului de rigoare cât şi la testarea cunoştințelor asimilate. De asemenea, dacă vom propune analizarea unor texte matematice din cărți, reviste de specialitate, lucrări ale elevilor sau ale profesorului, elevii vor putea comenta forma estetică, modul de expunere, neclaritățile, ambiguitățile, eventualele greşeli şi se vor acomoda cu studiul ştiințific. Astfel, ei vor cerceta învățând. Ținând cont de influența tehnicii computaționalizate în viața curentă, profesorul de matematică trebuie să pună accentual pe dezvoltarea gândirii algoritmice a elevilor. Formarea capacității de abstractizare este un alt deziderat în activitatea desfăşurată la orele de matematică. Procesul începe încă din gimnaziu prin exerciții de recunoaşterea unor noțiuni, formule, proprietăți, teoreme, indiferent de notație. Pentru aceasta, este important să exprimăm şi în cuvinte orice enunț formulat simbolic (mai ales la analiză matematică şi algebră). Chiar dacă redactarea simbolică este de cele mai multe ori mai concisă, riguroasă şi comodă, pentru a fi reținută şi aplicată în alte demonstrații ea trebuie înțeleasă în profunzime. Enunțul matematic transpus numai în cuvinte face apel la un limbaj mult mai familiar elevilor şi evidențiază în mod direct semnificația avută în vedere, făcând apel atât la logică cât şi la intuiția fiecăruia. Doar pregătirea ştiințifică superioară a unui cadru didactic nu reprezintă garantul unui profesor bun. Esențială este şi capacitatea de a comunica elevilor cunoştințele, de a le prezenta într- o formă accesibilă, comodă, motivată, care să conducă la obținerea unor rezultate cât mai bune. Pentru aceasta, profesorul trebuie să cunoască psihologia copilului, să-şi perfecționeze metodica de predare-învățare-evaluare, deținând noțiuni de pedagogie; să aibă tact; să fie deschis la nou. Profesorul de matematică nu are menirea doar de a-i învăța pe elevi matematica. El trebuie să le sublinieze acestora rolul disciplinei în dezvoltarea societății, oferind motivații puternice 8 învățării; prin metodele de lucru şi limbajul ştiințific, el dezvoltă inteligența, spiritul creator, talentul elevilor, îi învață să gândească logic, să caute adevărul şi noutatea, să lucreze singuri, dar şi în echipă. De asemenea, el trebuie să le dezvolte spiritul de obiectivitate, de corectitudine, de etică, fiind un exemplu pentru ei în acest sens. 9 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII DE ARITMETICĂ § 1.1. TEORIA NUMERELOR Obiectul iniţial al teoriei numerelor a fost studiul proprietăţilor numerelor naturale. Ca ramură a matematicii, teoria numerelor s-a constituit sistematic abia mai târziu. Rezultate separate se cunosc încă din antichitate şi aparţin lui Euclid (300 î. H.) şi lui Diofante (250 î. H.). În secolul al XVII–lea, în cercetările sale Pierre Fermat (1601-1666) face descoperiri remarcabile, de o reală valoare ştiinţifică. Progrese mari a realizat prin numeroasele sale lucrări Leonhard Euler (1707-1783) ale cărui idei au fost deosebit de fructuoase. Teoria numerelor este azi o ramură cu multe ramificaţii, înrudită cu algebra abstractă (în special în ceea ce priveşte teoria algebrică a numerelor) şi care foloseşte cele mai rafinate metode ale analizei (în teoria analitică a numerelor). Apar astfel probleme şi subdomenii care au numai indirect legătură cu numerele întregi. Spre deosebire de alte domenii ale matematicii, multe rezultate ale teoriei numerelor sunt accesibile şi unor nespecialişti fără cunoştinţe temeinice aprofundate. Demonstraţiile acestor rezultate necesită un instrument matematic foarte complicat. Teoria numerelor este denumită “regina matematicii“. Vorbind de ea, Gauss a afirmat “Este remarcabil că oricine se ocupă serios de această ştiinţă este cuprins de o adevărată pasiune“ (Gauss 1808 –către prietenul său din tinereţe Bolyai). Elevii fac cunoştinţă cu mulţimea numerelor naturale 0,1,2,3, … , n notată cu ������ încă din clasele primare. Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) a definit numerele naturale ca fiind elemente ale unei mulţimi ������ în care s-a fixat un element 0 (numit numărul natural 0) împreună cu o funcţie ������: ������ → ������ (numită funcţie succesor) astfel încât axiomele următoare să fie îndeplinite: AXIOMELE LUI PEANO A1. Zero este număr natural A2. Orice număr natural admite un succesor unic, care este tot număr natural. Next >